調べてみたところ以下の2つを用意すれば実現できそうでしたので、実際に導入を試みてみました。

1.クラウドのストレージサービス（「Googleドライブ」または「Amazon Cloud Drive」）
2.バックアップソフト

GoogleドライブはGoogleのサーバ上にファイルを同期するクラウドサービスです。無料で15GBまで使用でき、追加の容量を購入することで最大16TBまで拡張することができます。
主な特徴としては下記の通りです。

・PC内のフォルダとの同期が可能（要クライアントのインストール）
・iPhoneやAndroidのアプリからアクセス可能
・最大容量は16TBまで
・Webからファイル内検索が可能

まずはGoogleドライブのクライアントを導入するところから行います。
なおGoogleドライブを利用するにはGoogleのアカウントが必要となりますので、持っていない方は予め準備しておいたほうが良いかと思います。